产品×金融×AI：AI 时代的金融产品第一部分 · 第二篇　风险补偿：承担风险的价格English
第 3 章

风险长什么样结果的分布

实际回报 ＝时间补偿＋风险补偿＋信息优势－交易成本＋运气前提：承诺得到兑现

回报等式的第二项是风险补偿。要知道承担风险应当得到多少补偿，先要知道风险长什么样：它不是一个数字，而是结果的分布。这个分布有三个稳定的特征：不确定的范围随时间的平方根扩大，波动会聚集，极端结果比正态分布预计的多。方向难以预测，但这些特征在相当程度上可以估计。

一、不确定性随时间扩大

1900 年，法国数学家巴舍利耶在博士论文《投机理论》中研究巴黎交易所的债券价格。他提出，价格的变动可以看作随机的：下一刻上涨与下跌的可能大致相当。他还推导出随机变动的一个基本性质：不确定的范围随时间的平方根扩大，时间延长到 4 倍，可能的范围只扩大到 2 倍。这一描述比爱因斯坦用同样的数学解释布朗运动早了五年。

不确定的范围随时间的平方根扩大

40 条可能的路径，以及中间 90% 结果的范围。选择持有期，看上涨的概率是多少。

持有期
结束时高于起点的概率
中间 90% 结果的范围
示例参数：年化对数收益均值 5%，年化波动率 18%，每月一步。范围按对数刻度显示，以起点为 100。在对数刻度上，4 年的范围宽度是 1 年的 2 倍，即时间的平方根之比。

在巴舍利耶的描述之外还要补充一点：股票长期有正的预期收益，这是对承担风险的补偿。但这份预期收益相对于波动非常小。按图中的示例参数计算，持有一天，上涨的概率只比一半略高；持有十年，上涨的概率才明显高于一半。短期内，方向几乎完全被波动淹没。

二、波动会聚集

曼德博在 1963 年研究棉花价格时观察到，大的变动之后往往跟着大的变动，平静之后往往跟着平静。这一现象后来在几乎所有金融市场都得到证实。涨跌的方向仍然无法预测，但波动的大小可以在相当程度上预测。恩格尔在 1982 年提出的自回归条件异方差模型，正是用来刻画这种性质，他因此获得 2003 年诺贝尔经济学奖；博勒斯莱夫在 1986 年将其推广为广义自回归条件异方差模型，成为最常用的形式。

方向不聚集，波动会聚集

上方是 500 个交易日的每日涨跌，下方是每日涨跌的幅度（不看方向）。切换对照，看真实市场与“波动恒定”的差别。

每日涨跌 涨跌幅度
相邻两日涨跌的相关系数方向：几乎无法预测
相邻两日涨跌幅度的相关系数
模拟数据。“波动会聚集”一组按 Engle（1982）的自回归条件异方差思路及其常用推广 GARCH(1,1)（Bollerslev 1986）生成：今天的波动受昨天波动与昨天涨跌幅度的影响；两组的平均日波动率同为约 1.2%。Mandelbrot（1963）最早描述了“大的变动之后往往跟着大的变动”。

三、极端结果比预计的多

曼德博同时发现，极端变动比正态分布预计的多得多。巴舍利耶假设价格变动服从正态分布，但真实的价格变动中，远离平均的大涨大跌出现的频率高出许多倍，即所谓“厚尾”。1987 年 10 月 19 日，道琼斯工业平均指数单日下跌约 22.6%。按正态分布计算，以长期平均约 1% 的日波动衡量，这样的跌幅相当于二十多个标准差，发生的概率小到没有实际意义。

极端变动比正态分布预计的多

10 万个交易日的每日涨跌分布（对数纵轴，便于看清两端）。曲线为相同波动率的正态分布。选择阈值，比较超过它的天数。

按正态分布预计（每一万天）
厚尾分布中实际出现（每一万天）
相差
模拟数据：厚尾一组采用自由度为 3 的 t 分布并缩放到与正态分布相同的标准差，这是刻画金融收益厚尾的常用示意分布，不对应某个具体市场的估计；真实市场中的倍数因市场与时期而异。Mandelbrot（1963）最早系统指出价格变动的厚尾特征。

四、对产品设计的含义

风险的形态决定了产品应当如何呈现结果，也指出了模型与 AI 最适合用在哪里。

本章小结：按风险的真实形态呈现结果

四条设计要求，各自对应本章的一个机制。

不确定性随时间扩大用区间与概率代替单点预测

展示不同持有期下可能结果的范围，而不是一个目标价或一个平均收益。

长期正收益淹没在短期波动里按持有期解释“上涨的概率”

持有一天与持有十年，上涨的概率差别很大；不要用长期结论引导短期交易。

波动会聚集把模型与 AI 用在可以估计的地方

波动与风险暴露比涨跌方向更值得估计；波动上升时及时调整风险提示。

极端结果比正态分布预计的多压力测试按厚尾而非正态

展示历史上真实出现过的极端情形，不只给“正常情况下”的波动范围。

参考文献