回报等式的最后一项是运气。它是短期结果的主要来源，长期平均为零，却最容易被误认为技能。主动管理的整体结果由一个简单的算术决定：扣除成本之前，主动投资者合起来恰好等于市场；扣除成本之后，必然跑输。个别经理能否跑赢，取决于每一次判断有多准、每年有多少次独立的判断，以及约束让判断打了多少折扣；即使是优秀的经理，这三项的乘积也不大。要从结果中分辨出技能，往往需要几十年的数据。而对多数普通投资者来说，比跑赢市场更难的，是在波动中把一个方法坚持下去。
夏普在 1991 年用一个简单的算术说明了主动管理的整体结果。把所有投资者分成两类：被动投资者按市值持有整个市场，主动投资者试图通过买卖跑赢市场。被动投资者合起来的收益等于市场收益；所有投资者合起来也持有整个市场，收益同样等于市场收益。所以主动投资者合起来，在扣除成本之前也只能等于市场。主动管理的成本更高，扣除成本之后，主动投资者整体必然跑输被动投资者。
主动管理的加减法
市场一年上涨 8%。拖动主动投资者所占的比例，比较两类投资者扣除成本前后的收益。
无论主动投资者占多少，他们合起来扣除成本前都只能等于市场；成本更高，所以扣除后必然落后。
这个结论不依赖市场是否有效，也不依赖任何模型，只是加减法。它并不否认个别主动管理者可以跑赢，但说明了一个人跑赢，必然有另一个人跑输。
夏普的算术说明主动投资者整体无法跑赢，却没有说明少数经理凭什么可能跑赢。格林诺德（1989）给出了回答：一位经理的信息比率，即每承担一单位跟踪误差所获得的超额收益，约等于信息系数乘以广度的平方根。信息系数衡量每一次判断与实际结果的相关程度；广度是每年作出的相互独立的判断次数。克拉克、德席尔瓦与索利（2002）又加入了转移系数：不能做空、仓位上限、行业中性等约束，会让判断只有一部分转化为实际持仓。格林诺德与卡恩（2000）指出，信息系数达到 0.05 就已算良好，信息比率达到 0.5 已属前列。这个定律说明了三件事：微弱的判断优势只能靠大量独立的判断放大，而且只按平方根放大；几十次押注同一个行业或同一类因子，有效的独立判断远少于名义上的次数；约束越多，判断转化为收益的比例越低。
即使所有基金经理都没有任何技能，也会有人取得漂亮的业绩。设想 1,000 位毫无技能的经理，每年跑赢市场的概率都是一半，五年后仍会有约 31 人连续五年跑赢。事后看，他们的记录无可挑剔。
卡哈特在 1997 年发现，基金过去的好业绩几乎不能延续到未来，能够延续的主要是差业绩，原因多半是高费用。
要从带噪声的业绩里确认技能，需要足够长的时间。一位经理每年跑赢基准 2%，但业绩相对基准的波动（跟踪误差）是每年 6%，要在统计上有把握地说这 2% 不是运气，大约需要 36 年的数据。这里的 2% 与 6% 之比就是信息比率，约为 0.33；在 95% 的把握下，所需的年数约为（2 ÷ 信息比率）的平方，信息比率越低，需要的时间越长。多数基金存续不了这么久，多数投资者也不会等这么久。
要多少年，才能确认不是运气
调节经理每年跑赢基准的幅度与跟踪误差（相对基准的波动），看需要多少年的业绩才能在统计上确认技能。
法玛与弗伦奇在 2010 年把美国主动股票基金的实际业绩，与“假如所有经理都毫无技能”时的模拟结果相比较，发现扣除费用后，实际业绩的分布整体比纯运气的模拟结果还要差，说明多数基金扣费后的真实超额收益为负，能够稳定覆盖成本的经理极少；只有在扣费前的两端尾部，才看得到一些真实的能力差异。标普道琼斯指数公司的主动基金对比报告也显示，截至 2025 年底，在十年与十五年期限内，分别约有 90% 与 93% 的美国主动股票基金跑输标普综合 1500 指数。
扣除费用后，实际业绩比纯运气还差
灰色是假设所有基金经理都毫无技能时，基金超额收益 t 值的分布；橙色线是扣除费用后的实际分布（示意）。切换查看。
既然主动管理整体跑输，买入并持有指数似乎就是最好的选择。但作者在一篇公开发表的文章中指出：对包括自己在内的很多普通投资者来说，如果没有一个应对波动的方法让自己保持心态，买入持有本身就不存在。号称躺平的被动投资者，真正能躺到底、拿到平均收益的并不多。
证据支持这一判断。迪切夫在 2007 年比较了 1926～2002 年纽约与美国证券交易所的买入持有收益与投资者按实际资金进出计算的收益，发现后者每年低约 1.3 个百分点：投资者倾向于在上涨之后投入更多，在下跌之后撤出。产品展示的是基金的收益，投资者拿到的却是自己的收益。
基金的收益，与投资者拿到的收益
同一只指数基金 20 年的走势。比较两位投资者：一位每年固定投入 1 万元，另一位在上涨后加大投入、在下跌后撤出。
作者在同一篇文章里进一步指出，已经在经验上取得成功的流派，都有各自应对波动的方式。以费雪的观点为例，估值本身很复杂，股价在公允价值的一半到两倍之间波动都可以视为合理；留足安全边际之后，交易大多发生在合理区间之内，价值投资实质上是一个跨度极大的网格。很多时候，放弃跑赢买入持有的执念，只赚取一部分有限的利润来换取安全性，是划算的。
沿着同一思路，网格交易与定期再平衡把高抛低吸直接写成了规则，换来的是方法的可坚持性。
理论收益更高，还是能坚持到底
两种方法各模拟 2,000 种 20 年的走势。假设投资者在回撤超过自己能承受的幅度时会放弃，把钱转为存款。拖动能承受的最大回撤，比较两种方法的典型结果。
用本书的语言说：一个理论收益更高、但投资者在最大回撤时会放弃的方法，实际结果可能不如一个理论收益稍低、但能坚持到底的方法。判断一个方法，要看它在用户真实的承受能力下能否被执行。
运气、成本与坚持，决定了一个投资者最终拿到的结果与理论之间的距离。
扣除费用后，多数主动基金的真实超额收益为负。主动产品要说明它相对低成本基准多收了多少费用，以及需要多高的超额收益才能覆盖。
业绩展示要给出足够长的期限、与基准的对比、信息比率，以及统计上能否与运气区分。
让用户看到追涨杀跌让自己少拿了多少，而不只看产品的收益。
用用户真实的承受能力检验方案：一个会被中途放弃的方案，理论收益再高也没有意义。