风险补偿体现在平均收益上，投资者拿到的却是复合收益。两者之间隔着波动：同样的平均收益，波动越大，复合下来的结果越少，多数人的结果低于平均数。这不是什么额外的损耗，而是复利本身的数学性质；它在固定杠杆的产品里被放大，在定期再平衡的组合里则可能反过来带来好处。
一笔钱第一年涨 50%，第二年跌 50%。平均每年的收益是多少？按两年收益直接相加再平均，是 0%；可是 100 元先变成 150 元，再变成 75 元，两年下来实际亏了 25%。前一种叫算术平均，后一种叫几何平均，也就是复合收益。投资者真正拿到的，是几何平均。
涨 50%、跌 50%，平均是多少
每年要么上涨 x%，要么下跌 x%，交替出现。调节 x，比较算术平均与实际拿到的复合收益。
算术平均与几何平均之间的差距，来自波动：波动越大，差距越大，差距约等于波动率平方的一半。年化波动率 20% 的资产，复合收益比算术平均收益低约 2 个百分点；波动率 40% 时，低约 8 个百分点。这就是“波动拖累”。
同样的平均收益，波动越大，复合越少
两项资产的算术平均收益都是每年 8%。调节右边一项的波动率，看 20 年后典型结果（中位数）的差距。
这意味着，比较两项资产不能只看平均收益。平均收益相同、波动更大的那一项，长期复合下来的结果更差。也正因为如此，分散在降低波动的同时，也提高了组合的复合收益。
波动拖累有一个更直观的表现：亏损之后，需要更大的涨幅才能回到原点。跌 10%，需要涨 11% 才能回本；跌 50%，需要涨 100%；跌 80%，需要涨 400%。下跌与上涨用的是不同的基数。
跌下去容易，涨回来难
拖动亏损幅度，看需要多大的涨幅才能回到原点。
把时间拉长，复合收益的分布会越来越偏：少数特别好的结果把平均数拉得很高，多数人的结果却落在平均数之下。持有一项高波动资产 30 年，平均结果可能很可观，但多数路径的终点低于这个平均。只用平均收益介绍一个长期产品，会让多数用户的预期落空。
平均数之下的多数人
模拟 2,000 位投资者各自持有同一项资产。选择持有年限与波动率，看终值分布、平均数与中位数，以及有多少人低于平均数。
每日两倍、三倍的杠杆 ETF，常被认为存在一种“损耗”。作者在一篇公开发表的文章中用一个简单的例子说明：复利本身并不构成问题，偏差的来源是为了维持固定杠杆而进行的追涨杀跌。
设有 100 美元，再借 100 美元，共 200 美元买入，即两倍杠杆。第一天上涨 10%，持仓变为 220 美元，其中自己的部分是 120 美元，杠杆降到约 1.83 倍；为了维持两倍，需要再借 20 美元买入，这是在高位加仓。第二天下跌 10%，持仓亏损 24 美元，全部由自己承担，自有资金降到 96 美元，杠杆升到 2.25 倍；为了维持两倍，只能卖出 24 美元的持仓还债，这是在低位减仓。两天下来，标的只跌了 1%，按“两倍”直觉应该亏 2%，实际却亏了 4%。
换一种走势，偏差的方向会变
普通人直接买入杠杆 ETF 后放着不动，并没有亲手追涨杀跌；这一过程由基金每日调整，通过净值结算转移到持有人身上，所以难以察觉。这里的“损耗”更准确的说法是“偏差”，它本身是中性的：在单边上涨或下跌的趋势中，偏差可能是有利的；在来回震荡的市场中，偏差是不利的。Cheng 与 Madhavan（2009）、Avellaneda 与 Zhang（2010）对这种路径依赖作了系统的分析。
也因为如此，想“利用”杠杆 ETF 的偏差套利，逻辑上只等价于自己反向做一次高抛低吸，而高抛低吸并不保证盈利。
固定比例的分散组合，例如股票与债券各占一半，定期再平衡时做的事情恰好相反：卖出涨多了的资产，买入跌多了的资产，即高抛低吸。在来回震荡的市场里，这会让组合的复合收益高于各资产复合收益的加权平均，布斯与法玛在 1992 年称之为“分散收益”；在单边趋势中，它则会落后于不调整的组合。
再平衡：方向相反的同一个机制
两项资产各投 50 元，长期走势相同但涨跌交替。比较“买入后不再调整”与“每期调回各占一半”的结果。
固定杠杆与固定比例，是同一个数学性质的两个方向：前者追涨杀跌，在震荡中吃亏；后者高抛低吸，在震荡中获益。它们都不是免费的午餐，而是对市场走势形态的不同押注。
投资者拿到的是复合收益，产品展示的却常常是平均收益，这中间的差距需要产品主动讲清楚。
历史业绩用年化复合收益表示；平均收益与复合收益差距较大时，说明原因。
让用户在买入前就知道，一次 50% 的回撤需要翻倍才能回本。
不要只用平均情形介绍长期结果，应展示典型结果与较差情形。
说明持有超过一天时结果会偏离“倍数”，偏差方向取决于走势形态，而不是简单的“损耗”。